求解定积分 ∫ x \cos x \, dx 的过程涉及到使用分部积分法。具体步骤如下：，，1. 设 \( u = x \) 和 \( dv = \cos x \, dx \)。，2. 通过求导来找到 \( du \) 和 \( v \)，即 \( du = dx \) 和 \( v = \sin x \)。，3. 应用分部积分公式：\(\int u dv = uv - \int v du\)。，4. 将已知的 \( u \)、\( dv \) 和 \( du \) 代入公式，得到：， \[， \int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx， \]，5. 计算剩余的积分 \(\int \sin x \, dx\)，得到 \(-\cos x\)。，6. 将结果合并并加上常数项，最终得到：， \[， \int x \cos x \, dx = x \sin x + \cos x + C， \]，，\( C \) 是一个常数。
定积分计算
$$\int x \cos x \, dx$$
解题步骤如下：
1、使用换元法：
$$\int x \cos x \, dx = \int x \cdot s(x) \, ds$$
$s(x) = \sin x$
2、计算 $dx$：
$$dx = \frac{ds}{dx} \, dx = \cos x \, dx$$
3、将 $ds$ 和 $dx$ 代入原积分：
$$\int x \cos x \, dx = \int x \cdot \sin x \cdot \cos x \, dx = \int x \cdot \frac{1}{2} \sin 2x \, dx$$
4、集成并求解：
$$\int x \cdot \frac{1}{2} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \int x \sin 2x \, dx$$
使用基本积分公式 $\int x \sin ax \, dx = -\frac{x \cos ax}{a} + \frac{\cos ax}{a^2}$：
$$\int x \sin 2x \, dx = -\frac{x \cos 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4} + C$$
5、化简：
$$\int x \cos x \, dx = -\frac{x \cos 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4} + C = \frac{-x \cos 2x + \cos 2x}{4} + C = -\frac{x \cos 2x}{4} + C$$
不定积分为：
$$\boxed{-\frac{x \cos 2x}{4} + C}$$
分部积分公式
分部积分公式由以下给出：
$$(uv)' = u'v + uv'$$
两边积分得：
$$\int u'v \, dx = \int (uv)' \, dx - \int uv' \, dx$$
即：
$$\int u'v \, dx = uv - \int uv' \, dx$$
简写为：
$$\int v \, du = uv - \int u \, dv$$
不定积分的常见形式
1、$\int a \, dx = ax + C$
2、$\int x^a \, dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C$
3、$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$
4、$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
5、$\int e^x \, dx = e^x + C$
6、$\int \cos x \, dx = \sin x + C$
7、$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
8、$\int \cot x \, dx = \ln |\sin x| + C = -\ln |csc x| + C$
日本奇葩娱乐节目
勾勒脖子算时长
在一个综艺节目中，男主持人邀请年轻演员进行一项挑战——每轮表演结束后，主持人将他们捆绑在一起，让她们被扣勒脖子，直到能够站立起来为止，虽然看起来很危险，但这些演员似乎对挑战表现出极大的热情。
吹蟑螂
另一个节目则展示了如何通过一系列动作和技巧，让一只死蟑螂被吹到另一个演员口中，这种行为令人发笑，同时也提醒我们注意自己的安全。
检测机里被人亲吻
还有一个节目让演员被放置在x光检测机中，然后突然露出一个猥琐的笑容，并亲吻演员一口，这种场景令人毛骨悚然。
这些节目不仅展示了演员们的超凡表现，也让人不禁思考人性和道德的底线，不过，我们应该保持理性，避免盲目跟风。