在这个充满挑战和乐趣的学习旅程中，我们学习了高中数学中的各种排列组合模型，这些模型是解决实际问题的关键工具，它们可以帮助我们在各种情境下找到最优解，下面是对这21种模型的详细分析以及一些改进建议。
### 模型一：特殊元素和特殊位置优先策略
**模型描述：
在排列组合中，如果某些特定的元素（如特殊元素）必须出现在特定的位置（如特殊位置），那么我们可以采用这种策略来减少计算量。
**案例分析：
- **例1:** 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数？
- 这是一个典型的特殊元素（奇数）和特殊位置（首位）的组合问题，我们需要确保首位是奇数，然后剩下的四位数字可以任意排列。
- 解决办法：首先确定首位（5个奇数中有5个奇数，所以首位有5种选择），然后剩下的四位数字有4*3*2*1=24种排列。
- 总计: 5 * 24 = 120 种排列。
### 模型二：相邻元素捆绑策略
**模型描述：
如果某些特定的元素（如相邻元素）必须在一起，那么我们可以将其视为一个整体进行处理。
**案例分析：
- **例2:** 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法？
- 我们可以把甲乙和丙丁看作一个整体，这样就变成了6个人的排列，然后考虑甲乙之间的交换。
- 解决办法：总共有6! = 720种排列，但由于甲乙可以互换，所以需要除以2，得到360种不同排列。
- 总计: 360 种排列。
### 模型三：不相邻问题插空策略
**模型描述：
如果某些特定的元素（如不相邻元素）必须不相邻，那么我们需要在所有可能的排列中排除那些不符合条件的排列。
**案例分析：
- **例3:** 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
- 安排舞蹈和相声的出场，因为它们不能连续，有4! = 24种排列，对这4个节目进行重新排列，得到3! = 6种排列。
- 总计: 24 * 6 = 144 种排列。
### 模型四：定序问题倍缩空位插入策略
**模型描述：
如果某个元素（如定序元素）有固定的位置，那么我们需要在其他元素的排列中增加一个空位，以便这个元素可以在其中出现。
**案例分析：
- **例4:** 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？
- 如果甲乙丙必须顺序，我们可以先排列甲乙丙，然后再排列剩余的四个元素，甲乙丙有3! = 6种排列，剩余的4个元素有4! = 24种排列。
- 总计: 6 * 24 = 144 种排列。
### 模型五：重排问题求幂策略
**模型描述：
如果某些元素（如重排元素）可以重复使用，那么我们需要使用幂的概念来计算排列数量。
**案例分析：
- **例5:** 把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法？
- 每个实习生有7种选择，因此6名实习生有7^6 = 117649种不同的分配方法。
- 总计: 117649 种分配方法。
### 模型六：环排问题线排策略
**模型描述：
如果某些元素（如环形元素）可以旋转，那么我们需要考虑环形排列的不同方向。
**案例分析：
- **例6:** 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
- 在环形排列中，元素之间的相对位置不会改变，因此我们只需要计算从一个点开始的排列数量，然后乘以环的数量。
- 解决办法：从一个点开始的排列数量为7! = 5040，由于有8个座位，所以总共有8 * 5040 = 40320种坐法。
- 总计: 40320 种坐法。
### 模型七：多排问题直排策略
**模型描述：
如果某些元素（如多排元素）可以排在相邻的位置，那么我们需要考虑相邻位置的不同组合。
**案例分析：
- **例7:** 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？
- 第一层有8种排法，第二层有5种排法（甲乙在前排，丙在后排），由于排列是独立的，所以总数为8 * 5 = 40种排法。
- 总计: 40 种排法。
### 模型八：排列组合混合问题先选后排策略
**模型描述：
如果某种情况（如先选后排）必须发生，那么我们需要先解决这个问题，然后再考虑另一种情况。
**案例分析：
- **例8:** 有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法？
- 我们可以通过以下步骤：
1. 将5个小球分为4组，每组至少有一个球，这是将5个小球分配到4个盒子里的问题，可以使用“插空法”解决，将5个小球分为4组的方法数为(5+3-1)!/(3! * 2!) = 10。
2. 将4组按照先后顺序排列，有4! = 24种排列方式。
- 总计: 10 * 24 = 240 种装法。
### 模型九：小集团问题先整体后局部策略
**模型描述：
如果某些情况（如先整体后局部）必须发生，那么我们需要先解决这个问题，然后再考虑另一种情况。
**案例分析：
- **例9:** 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,5在两个奇数？
- 我们可以通过以下步骤：
1. 分类讨论：有两种情况，即偶数夹在1和5之间，或者偶数夹在3和5之间。
- 情况1：偶数夹在1和5之间，从4个偶数中选择2个放在中间，有C(4,2) = 6种方法，在剩余的3个奇数中选择2个放在两边，有C(3,2) = 3种方法，排列1,5,偶数和奇数，有2! * 2! = 4种方法。
- 情况2：偶数夹在3和5之间，从4个偶数中选择2个放在中间，有C(4,2) = 6种方法，在剩余的3个奇数中选择2个放在两边，有C(3,2) = 3种方法，排列3,5,偶数和奇数，有2! * 2! = 4种方法。
- 总计: 6 + 3 + 6 + 3 = 18 种情况。
### 模型十：元素相同问题隔板策略
**模型描述：
如果某些元素（如元素相同）需要进行隔板处理，那么我们可以使用隔板原理来计算。
**案例分析：
- **例10:** 有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
- 我们可以通过以下步骤：
1. 对于7个班级，我们需要在9个间隔（包括两端）中放置6个隔板，以确保每个班级至少有一名运动员。
- 有C(9,6) = 84种方法。
- 总计: 84 种分配方案。
### 模型十一：正难则反总体淘汰策略
**模型描述：
如果某个情况（如正难则反）必须发生，那么我们需要先求出所有可能的情况，然后再排除不符合条件的情况。
**案例分析：
- **例11:** 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
- 找出所有不小于10的偶数之和，这些和分别是1